#纳什均衡# 什么是纳什均衡？

因为美丽心灵这部电影，弄得好多人没有真的懂纳什均衡是在说啥……

　　电影里的大意是这样：四个朋友在酒吧里看上了一个美女，都想去搭讪，纳什说，如果我们按照亚当斯密的观点，每人都只为自己着想，一上来就都去找她，就会互相干扰，最后谁也得不到。但是大家（按照纳什的观点）既考虑自己的利益，又考虑整体的利益，分别各自去找她的同伴，结果就是大家都获益。

　　但是，这特么根本不是纳什均衡呀……

　　定义：在非合作类博弈中，如果参与者当前选择的策略形成了“纳什均衡”，那么对于任何一位参与者来说，单方更改自己的策略不会带来任何好处。

　　（纳什证明了，如果允许混合策略，那么任何一个博弈，只要参与者数量是有限的、参与者可以选择的纯策略也是有限的，那么这个博弈至少有一个纳什均衡。）

　　（另外，别把纳什均衡和囚徒困境混了。纳什均衡是个广泛得多的概念。）

　　例子：打猎。

　　两个猎人出发去打猎。假设一头鹿有400公斤肉，但必须两人合作才能打到，一个人打什么都获得不了。同地区有一群兔子，一共有200公斤肉，两人合作可以全部打完，但一个人打也可以获得100公斤肉。两个猎人各自都知道对方的平衡策略，但不能通过任何方式影响对方的决策。最终的结果会怎样？

　　那么，

　　A 鹿B 鹿： 200,200

　　A 鹿B 兔： 0,100

　　A 兔B 鹿： 100,0

　　A 兔B 兔： 100,100

　　这里面有两个纳什均衡。

　　（1）两人都猎鹿：任何一人单方切换成猎兔子，都会让自己的收益从200跌到100。

　　（2）两人都猎兔子：任何一人单方切换成猎鹿，都会让自己的收益从100跌到0。

　　注意，这里面都是单方更改。要是双方同时从兔子换成鹿，都会更好——但纳什均衡不考虑这个。

　　这也造成了一个问题：纳什均衡从全局看起来不见得是“理性”的，不是看起来的最优解，但是对每个人来说，它的确是在别人不可控时自己的最优解。

　　好了，我们回到开始的酒吧场景。

　　从纳什均衡的角度来看，电影里的“纳什”一开始的出发点就是错的呀。谁在乎什么全局最优、谁在乎什么亚当斯密的公众福利！纳什均衡理论根本就没有考虑这些。那归别的模型管。纳什均衡是每个人自己的最优解。酒桌上扯的那堆东西，和纳什均衡毫无关联。

　　那么，这个策略是纳什均衡吗？根本不均衡呀。

　　我们先假设有两个朋友，每人有两种策略：（1）找那个美女，（2）找她的同伴。每人自己会挑一个互不冲突的同伴。假设找美女的“得分”是5，找同伴的得分是3，冲突的得分是0。

　　A 1 B 1： 0,0

　　A 1 B 2： 5,3

　　A 2 B 1： 3,5

　　A 2 B 2： 3,3

　　那么这里有两个纳什均衡：A1B2，A2B1。是的，所有人都去找同伴，这根本不均衡，因为任何一人切换成策略1都会更好；得有一个人去找那位美女，才是均衡的。

　　如果朋友多了，也是一样。当且仅当有一个人去找美女剩下的人找同伴的时候，这才是真均衡。

　　所以实际上，酒吧间的场景用博弈论分析是这样的：

　　四个人有四种可能的均衡，每一种均衡都是一个人去找美女，剩下三人找同伴。

　　实际的决策当然不一定会形成均衡，因为现实中信息不那么透明，有可能大家各自做各自的选择结果撞了。

　　假如大家都能感知到别人的策略的话，那么就是谁抢先，谁占便宜。我抢在第一个选择策略1，那么剩下的人就只能选策略2了。这是一个纳什均衡。

　　假如大家并不能感知到别人的策略，但大家都是聪明人，都是同步做出决策，那可能会出现好玩的场景：一开始所有人第一反应是策略1，但大家会意识到别人的第一反应和自己一样，这样自己吃亏，我应该换策略2。但别人也是聪明人，我能想到的他们也能想到，于是大家都会换策略2。但如果大家都会换策略2，那我改成策略1不就捡漏了吗？于是我应该改策略1，但别人也会这么想，也会改回1……如此陷入死循环。

　　现实中死循环应该是不至于，但结果还是：谁先敢于向同伴亮明自己选择了策略1，谁占便宜。